基本概念
典型题解
★例1 什么叫做自然数？“0”是自然数还是整数？什么叫做整数？
解 表示物体个数的一、二、三、四……的每一个数都叫做自然数。零是整数，也是自然数。零和一切自然数都叫做整数。
【解题关键和提示】
零是整数，也是自然数。
★例2 什么叫做小数？小数的基本性质是什么？
解 表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，叫做小数，如0.25、6.78等。
小数的基本性质是：在小数末尾添零或去零，小数的大小不变。
【解题关键和提示】
小数末尾不管有零（一或若干个）、无零，其值是相等的。
★例3 什么叫做分数？分数的基本性质是什么？
解 把整体“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。分数的基本性质是：分数的分子、分母同乘以或除以同一个数（零除外），分数的大小不变。
【解题关键和提示】
分数强调的是“平均分”。
注意“同乘以或除以同一个数。”
★例4 什么叫“数字”？什么叫“数位”？整数和小数的数位排列顺序是什么？
解 用来写数的符号叫做数字。如：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。各个不同的计数单位所占的位置叫做数位。
整数和小数数位排列的顺序如下：
【解题关键和提示】
熟记数位顺序，从个位起，每四位一级，正确地读写数。
★例5 举例说明什么叫整除？
解 数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b，整除。如：27÷3=9，27能被3整除。
【解题关键和提示】
整除商必须是整数，且a和b都是自然数。
★例6 什么叫约数和倍数？举例说明。
解 数a能被数b整除。a就是b的倍数，b就是a的约数。如：27能被3整除，27是3的倍数，3是27的约数。
【解题关键和提示】
约数和倍数是相对的，如27是3的倍数，但它又是81的约数。
★例7 什么叫质数？什么叫合数？
解 一个自然数，除了“1”和它本身，再也没有别的约数，这个数叫做质数（素数）。
一个自然数，除了1和它本身外，还有其他约数，这个数叫做合数。
【解题关键和提示】
“1”既不是质数，也不是合数。
★例8 举例说明什么叫质因数？
解 把一个合数，写成几个质数相乘积的形式，这几个质数就做这个合数的质因数。如：12=2×2×3，这里的2和2及3就是12的质因数。
【解题关键和提示】
质因数首先必须是质数。
★例9 什么叫分解质因数？分解质因数通常用什么方法？
解 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。
【解题关键和提示】
用短除法分解时，必须用质数去除，得出的商也必须是质数。
★例10 什么叫公约数？什么叫最大公约数？
解 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
【解题关键和提示】
几个数的公约数中，最小的一定是1。
★例11 什么叫互质数？举例说明。
解 公约数只有1的两个数叫互质数。
如：8和15是互质数，它们的最大公约数就是1。
【解题关键和提示】
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
★例12 什么叫公倍数？什么叫最小公倍数？
解 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
【解题关键和提示】
求几个数的最小公倍数用短除方法，一直除到所得的商是互质数为止。如果是三个或三个以上的数，最后的商必须两两互质。
★例13 能被2、5、3整除的数的特征是什么？
解 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
【解题关键和提示】
记住能被2、3、5整除的数的特征，判断就很容易。
★例14 什么叫最简分数？
解 分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
【解题关键和提示】
假分数的分子、分母如果是互质数，还要把它比成带分数，才叫最简分数。
★例15 什么叫约分？什么叫通分？
解 把一个分数化成同它相等，但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
【解题关键和提示】
无论是约分还是通分，其分数值都要和原来的分数相等。
★例16 什么叫真分数？
解 分子比分母小的分数，叫做真分数。
【解题关键和提示】
真分数比1小。
★例17 什么叫假分数？
解 分子和分母相等或者分子比分母大的分数，叫做假分数。
【解题关键和提示】
假分数等于1或大于1。
★例18 什么叫带分数？
解 一个整数和一个真分数合成的数，叫做带分数。
【解题关键和提示】带分数大于1。
★例19 什么样的分数能化成有限小数？
解 一个最简分数的分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数。除了2和5以外，还含有其他的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【解题关键和提示】前提条件是最简分数。不是最简的分数要先化简。
★例20 什么叫物体的面积？什么叫物体的体积？
解 物体表面或平面图形的大小，叫做它们的面积。物体所占空间的大小叫做物体的体积。
【解题关键和提示】面积指的是平面，体积指的是空间。
★例21 什么叫比的基本性质？
解 比的前项和后项都乘以或者都除以相同的数（零除外），比值不变。
【解题关键和提示】
比的基本性质是由分数的基本性质而来的。
★例22 什么叫比例尺？
解 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
【解题关键和提示】
通常把比例尺写成前项是1的比。
★例23 什么叫比例的基本性质？什么叫解比例？
解 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
【解题关键和提示】
解比例时，可利用比例的基本性质进行验算。
★例24 什么叫正比例关系？
解 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
【解题关键和提示】
判断两种关联的量成正比例时，必须强调两种相关联的量中相对应的两个数的商应该一定。
★例25 什么叫反比例关系？
解 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
【解题关键和提示】
判断两种关联的量成反比例时，必须强调两种相关联的量中相对应的两个数的积应该一定。
★★例26 最小的自然数是哪一个数？有没有最大的自然数？
解 最小的自然数是1。没有最大的自然数。
【解题关键和提示】
自然数的个数是无限的。
★★例27 自然数都是整数吗？整数都是自然数吗？
解 自然数都是整数。整数不都是自然数。
【解题关键和提示】
0是整数，也是自然数。整数除了我们已学的自然数以外还包括其他一些数。
★★例28 将下列数中的自然数和整数分别挑出来。再说明下列数中是否有最小的自然数和最小的整数。
0 486 17 158 76 1 57
解 自然数有：0 、486、17、158、76、1、57。
整数有：0、486、17、158、76、1、57。
最小的自然数是0。
最小的整数是0。
【解题关键和提示】
弄清自然数与整数的概念。
★★例29 指出下列数中哪些是带小数？哪些是纯小数？剩下的数是什么数？
0.08、0.61、1.07、1、16、0.97、10.6、180、7.04、0
解 带小数有：1.07、10.6、7.04。
纯小数有：0.61、0.08、0.97。
剩下的数是整数。
【解题关键和提示】
纯小数比1小，因为整数部分是0的小数叫纯小数，带小数比1大。
★★例30读出下列各数：
3801 5163004 10070009 280706805 30807010100
解 3801读作三千八百零一。
5163004读作五百一十六万三千零四。
10070009读作一千零七万零九。
280706805读作二亿八千零七十万零六千八百零五。
30807010100读作三百零八亿零七百零一万零一百。
【解题关键和提示】
记住读数的方法：读数要从高位起，数位顺序莫忘记。
千位是几读几千，百位是几读几百。
十位是几读几十，个位是几就读几。
中间有零读一个，末尾有0都不读。
★★例31写出下列各数：
八百万零四百五十六九亿零四十五万十亿零二十万零九百零八
解八百万零四百五十六写作8000456。
九亿零四十五万写作90045000。
十亿零二十万零九百零八写作1000200908。
【解题关键和提示】
写出数以后，再按读数的方法读出来，看是否能还原回去。
★★例32 一个数的百位是7，万位是5，十万位是3，亿位是1，其他位均为零，写出这个数。
解 这个数是100350700。
【解题关键和提示】
按照四位一级的写数方法，找准数位。
★★例33 把下列各数改写成以万作单位的数，再回答第一个数中的“6”，第二个数中的“2”，第三个数中的“7”，各在什么数位上？
54600 9200000 306760
解 54600改写成以万作单位的数是5.46万。
9200000改写成以万作单位的数是920万。
306760改写成以万作单位的数是30.676万。
54600中的6在百位上。
9200000中的2在十万位上。
306760中的7在百位上。
【解题关键和提示】
改写成用万作单位的数与原数的值应该是相等的，只是所用单位不同。
★★例34 把下面各数省略亿后面的尾数写出来。
523700800米 998200000 3660945200
解 523700800米省略亿后面的尾数约是5亿米。
998200000省略亿后面的尾数约是10亿。
3660945200省略亿后面的尾数约是37亿。
【解题关键和提示】
省略取的是近似值。原数有单位名称的省略后仍要有单位名称。
★★例35 写出下列各数：
（1）最小的三位数（2）最大的五位数（3）比最小的六位数少1的数（4）最小的四位数与最大的三位数之差。
解 （1）最小的三位数是100。
（2）最大的五位数是99999。
（3）比最小的六位数少1的数是99999。
（4）最小的四位数与最大的三位数之差是1。
【解题关键和提示】
记住最大的几位数与最小的几位数的规律：最大的几位数就是由几个9组成的，如最大的四位数就是9999。最小的几位数是由1和比几少1个0组成的，如最小的五位数是10000。
★★例36写出100以内的所有质数。
解 100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、、97。
【解题关键和提示】
可用顺口溜熟记100以内的质数。即：二、三、五、七、一十一，还有十三和十七；十九、二十三、二十九，三一、三七、四十一；四十三、四十七、五三、五九、六十一，六十七、七十一，七三、七九、八三、、九十七。
★★例37 48的约数有哪些？在这些约数中质数是哪几个？合数是哪几个？
解 48的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。在这些约数中。质数是：2和3，合数是4、6、8、12、16、24和48。
【解题关键和提示】
一个数的约数中，最小的是1，最大的是它本身。
★★例38 2和3的倍数各有哪些？
解 2的倍数有：2、4、6、8、10、12……
3的倍数有：3、6、9、12、15、18……
【解题关键和提示】
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
★★例39 能被4或25整除的数的特征是什么？
解 能被4或25整除的数的特征是这个数的末两位数能被4或25整除。
【解题关键和提示】
只看末两位数，若末两位数能被4或25整除，这个数则一定能被4或25整除。
★★例40 从1到30里面找出能被2、3、5、4、7整除的数各有哪些？
解 能被2整除的数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30。
能被3整除的数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30。
能被5整除的数有：5、10、15、20、25、30。
能被4整除的数有：4、8、12、16、20、24、28。
能被7整除的数有：7、14、21、28。
【解题关键和提示】
熟记能被2、3、5、4整除的数的特征。
★★例41 指出下面哪些是有限小数，哪些是无限小数。
3.45 6.7 6.3 0.33……0.066……5.125 4.384
解 有限小数有：3.45、6.3、5.125。
无限小数有：6.7、0.33……、0.066……、4.384。
【解题关键和提示】
这里的有限、无限指的是小数部分的位数。
★★例42把33、24、200分解质因数。
33=3×1124=2×2×2×3200=2×2×2×5×5
【解题关键和提示】
分解质因数是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
★★例43先求12、18和24的最大公约数，再求12、18和24的最小公倍数。
12、18和24的最小公倍数是2×3×2×3×2=72。
【解题关键和提示】
求最大公约数必须用几个数的公约数去除，求最小公倍数必须除到每两个数都是互质数。
★★例44指出下面能同时被2和5整除的数。
10 24 35 27 30 55 90
解 能同时被2和5整除的数有10、30和90。
【解题关键和提示】
个位上是0的数，能同时被2和5整除。
★★例45一个数用3、4和5除，正好都能整除，这个数最小是多少？
解这个数最小是60。
【解题关键和提示】
此题实际上是求3、4和5的最小公倍数。
★★例46求14和42的最大公约数。
解14和42的最大公约数是14。
【解题关键和提示】
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
★★例47求8和15的最大公约数。
解8和15的最大公约数是1。
【解题关键和提示】
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
★★例48求12和48的最小公倍数。
解12和48的最小公倍数是48。
【解题关键和提示】
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
★★例49求5和9的最小公倍数。
解5和9的最小公倍数是45。
【解题关键和提示】
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
【解题关键和提示】
整体1表示的内容不同，虽然分的份数和取的份数都一样，但内容却不相同。
★★例51 零能不能做除数？能不能作分母？为什么？
解 不能。如5÷0=？被除数是乘法中的积，除数与商是两个因数，“0”与任何数相乘的积只能得“0”，但不能得5，因此“0”做除数没有意义。被除数是分数中的分子，除数是分数中的分母，因为“0”做除数没有意义，所以“0”做分母也没有意义。
【解题关键和提示】
“0”既不能做除数，也不能做分母，要牢牢记住这条规律。
【解题关键和提示】
从意义上去理解。
【解题关键和提示】
★★例54 化简繁分数：
【解题关键和提示】化简繁分数的最后结果可以是整数、小数或最简分数。
【解题关键和提示】找准分子、分母的最大公约数，最后的结果还要与原分数值相等。
【解题关键和提示】找准这几个分数的分母的最小公倍数。
★★★例57 写出100以内都能被2、3、5整除的数。
解 100以内30、60、90都能被2、3、5整除。
【解题关键和提示】
能被2、5同时整除的数是个位是0的数，因此，个位是0的数中，只要它的各位上的和能被3整除，这个数就能被2、3、5整除。
★★★例58 写出5个能被3与5除都余2的两位数。解 17、32、47、62、77。
【解题关键和提示】找出3与5的公倍数后，再分别加2即可。
★★★例59 一个三位数用9除余6，用4除余2，用5除余1，这个三位数最小是多少？
解 这个三位数最小是186。
【解题关键和提示】
先求9、4和5的最小公倍数是180，既然用9除余6，那么就用180加6得186，186正好能满足用4除余2，用5除余1。
★★★例60 质数、质因数与互质数有什么不同？
解 质数是指一个数，这个数是自然数，它只能被1和它本身整除，如2、3、5、7……等。质数中除了2是偶数外，其余都是奇数。
质因数也是指一个数，这个数是另一个数的因数，而且它必须是质数。也就是说，质因数是指某一个合数的质数因数，如5×4=20，5和4都是20的因数，5是质数，所以5是20的质因数；而4不是质数，所以不能说4是20的质因数。质因数不能单独存在，而是对一个合数来说的，如果我们说5是质因数，那就错了。
互质数是指两个数或几个数，它们只有公约数1，没有别的公约数。互质数的两个数不一定都是质数。如3和8是互质数，但不能说3和8都是质数。
【解题关键和提示】
弄清楚质数、质因数与互质数是不同的概念。
★★★例61 3个连续自然数的和是84，这三个自然数分别是什么？
解 这三个自然数分别是27、28、29。
【解题关键和提示】
先求这三个数的平均数28，即为这三个数的中间数，再用中间数28分别减1、加1即求出这三个连续的自然数。
★★★例62 从0、1、2、5、9这5个数字中选4个数字组成一个能同时被2、5、3整除的最小四位数是什么？
解 这个数是1290。
【解题关键和提示】
先考虑这个四位数的首和尾，最小必须是1作首，而要想能同时被2和5整除必须用0作尾，再找中间的两个数字与1、0加起来能被3整除，还要考虑把小的那个数字放在百位上。
★★★例63 在10以内一个既是奇数又是合数的数，与一个既是质数又是偶数的数，组成的互质数是什么？
解 它们组成的互质数是9与2。
【解题关键和提示】
10以内既是奇数又是合数的数是9，既是质数又是偶数的数是2。
★★★例 能被2整除，又有约数3，同时是5的倍数的最大三位数是什么？
解 这个数是990。
【解题关键和提示】
此题实际是求能被2、3、5同时整除的最大三位数。
★★★例65 一个最简分数，如果把它的分子扩大4倍，分母缩小5倍。就变成14。这个分数是什么？
【解题关键和提示】
分子扩大4倍，分母不变，分数值也扩大4倍；分子不变，而分母缩小5倍。分数值反而扩大5倍。这样使原来的最简分数在扩大（4×5）倍的基础
要加上它的多少个分数单位，就比另外两个分数的和大。
解 最小要加上它的3个分数单位。
【解题关键和提示】
★★★例67 200以内哪些数被3、4、5除后都余1？